L’IRMAR et l’UFR de Mathématiques de Rennes 1, avec le soutien du labex CHL et de l’école doctorale Matisse proposent chaque année des cours de mathématiques de niveau doctoral et des cours de spécialisation, validés comme formation de l’école doctorale Matisse.

Géométrie

Géométrie des équations de Painlevé

Par Frank Loray - 6 heures cours magistral - les 12/12 de 10h à midi salle 16, 19/12 de 10h à midi salle 16, et 22/12 - 10h à midi amphi Lebesgue - Toutes les salles sont au rez-de-chaussée du Bâtiment 22/23 Campus Beaulieu

Les équations de Painlevé sont des équations différentielles ordinaires du second ordre découvertes par Picard, Painlevé, Gambier. Le but du cours est d'expliquer l'origine des équations de Painlevé : ce sont les équations différentielles de la forme y''=f(x,y,y') satisfaisant la propriété de Painlevé et ne se réduisant pas à des équations plus simples. Mais la vraie propriété découverte plus tard par Fuchs et qui implique les précédentes est l'isomonodromie : les solutions paramètrent des déformations de systèmes linéaires à monodromie constante. Le cours introduira les systèmes différentiels linéaires à coefficients méromorphes, leur monodromie, puis la correspondance de Riemann-Hilbert. En déformant ces système, on montrera comment l'équations de Painlevé VI apparaît et comment en déduire la propriété de Painlevé. Enfin, on utilisera la correspondance de Riemann-Hilbert pour décrire explicitement la monodromie non linéaire de l'équations de Painlevé VI, et on expliquera comment on a pu déduire toutes ses solutions algébriques.

• Mots-clés : géométrie complexe, équations de Painlevé, feuilletages, dynamique
• Prérequis : fonctions holomorphes, variétés, champs de vecteurs, groupe fondamental