La prochaine édition des journées de géométrie algébrique réelle se tiendra au LAREMA à Angers les 19 et 20 décembre 2024.

Orateurs confirmés :

• François Bernard (Université Paris Cité)
• Frédéric Bihan (Université Savoie Mont Blanc)
• Alice Bouillet (ENS Lyon)
• Khazhgali Kozhasov (Université Côte d'Azur)
• Lucy Moser-Jauslin (Universite de Bourgogne)
• Mélanie Theillière (Université de Rennes)

Programme :

Emploi du temps à venir

Titres et résumés des exposés :

Variétés Toriques Seminormales par François Bernard (Université Paris Cité)

Les variétés toriques sont traditionnellement supposées normales en raison de l'équivalence de catégories entre les variétés toriques normales et les éventails, des objets de nature combinatoire. Dans cet exposé, je présenterai un travail réalisé en collaboration avec Antoine Boivin, où nous étudions les variétés toriques seminormales. La seminormalisation d'une variété algébrique est une variante de la normalisation qui reste bijective avec la variété d'origine et qui peut être obtenue en considérant les fonctions régulues définies sur les points complexes de la variété. Notre objectif est de répondre à la question suivante : existe-t-il un objet combinatoire qui corresponde aux variétés toriques seminormales ? En nous appuyant sur un théorème de Reid et Roberts, qui montre, dans le cas affine, que la seminormalisation se réalise en normalisant chaque face du monoïde associé, et sur une construction de Teissier et González Pérez pour traiter des variétés toriques non affines et non normales, nous établissons une équivalence de catégories entre les variétés toriques seminormales et des objets combinatoires, que nous appelons des "éventails à groupes".

 

Nouvelles bornes fewnomiales sur le nombre de composantes connexes d'une hypersurface algébrique réelle par Frédéric Bihan (Université Savoie Mont Blanc)

Avec T. Humbert et S. Tavenas nous améliorons les bornes supérieures connues sur le nombre de composantes connexes d'une hypersurface algébrique réelle de l'orthant positif. Certaines des bornes obtenues sont optimales.
Notre preuve utilise la dualité de Gale pour les systèmes polynomiaux, la théorie des A-discriminant ainsi qu'une généralisation au cas multivarié de la règle de Descartes.

 

Modèles de schémas en groupes finis en famille par Alice Bouillet (ENS Lyon)

Soit k un corps, notons K:=k((t)) le corps des séries de Laurent sur k, et soit G_K un schéma en groupes fini sur K. Dans cet exposé, nous allons étudier les modèles de G_K, c'est-à-dire les schémas en groupes définis sur k[[t]], finis plats sur k[[t]], et qui deviennent isomorphes à G_K lorsque l'on rend t inversible. Ma motivation pour étudier ces objets vient de ma précédente étude de l'espace de modules des groupes finis infinitésimaux en caractéristique p>0 : on peut voir que cet espace de modules n'est pas séparé, et on sait, par le critère valuatif de séparation, que la non-unicité de tels modèles nous donne le défaut de séparation de cet espace. Ces différents modèles, autrement dit l'ensemble des « limites » possibles d'un K-groupe G_K, s'incarne géométriquement par l'espace de modules qui classifie les familles de modèles entiers de G_K (i.e. les modèles vivant sur A[[t]] où A parcourt les k-algèbres). Nous montrons que celui-ci est un ind-schéma (une limite inductive de schémas) et nous généralisons le concept classique de dilatation pour mieux connaître les points de notre espace de modules.

 

Real zeros of nonnegative polynomials and applications par Khazhgali Kozhasov (Université Côte d'Azur)

Real zeros of a nonnegative polynomial f ∈ ℝ[x, y] are singular points of the plane curve f = 0. Their total number and singularity type sometimes allow to distinguish f from being a sum of squares (which are particular nonnegative polynomials). Thus, for example, a sum of squares of degree 2d cannot have more than d² real zeros (provided this number is finite), while there exist nonnegative polynomials of (large) degree 2d with at least 4 d^2 / 3 many real zeros. By Artin's solution to the Hilbert's 17th problem we know that given a nonnegative f there exists g ∈ ℝ[x, y] such that f g² is a sum of squares. A natural question is whether one can take g=f^k with a certain k, that is, whether some odd power of f is a sum of squares.  In my talk I will show that this is not true for f that have sufficiently many real zeros. In the particular case 2d=6, our results imply that if f is not a sum of squares and it spans an extreme ray of the convex cone of degree 6 nonnegative polynomials, then it does not admit odd sums of squares powers.
The talk is based on a joint work with Blekherman and Reznick and a joint work in progress with Baldi, Blekherman, Plaumann, Reznick and Sinn.

 

Formes réelles des G-variétés complexes par Lucy Moser-Jauslin (Universite de Bourgogne)

Si G est un groupe réductif complexe et X est une G-variété, pour chaque forme  réelle de G, nous allons décrire les notions de structure réelle et  de forme réelle de X, compatible avec la forme donnée sur G. Je commence avec quelques exemples pour le groupe multiplicatif ℂ*, avec la forme ayant un cercle comme ensemble de points réels. Après, nous parlerons de quelques cas des variétés homogènes et presque homogènes. Nous sommes particulièrement intéressés par les cas de complexité un, où on peut utiliser la théorie combinatoire de Luna-Vust sur les G-variétés complexes. Finalement, on donnera quelques résultats sur la rationalité des formes réelles associées aux structures réelles. Ce travail est en collaboration avec R. Terpereau et L. Moulin. 

 

The hyperbolic plane in E³ par Mélanie Theillière (Université de Rennes)

From a theorem of Nash and Kuiper, we know it is possible to isometrically embed (preserving lengths) the hyperbolic plane into the Euclidean 3-space.
However such an embedding only exists in C¹-regularity. By a theorem of Hilbert-Efimov, the regularity can not be enhanced to be C².
In this talk, we will explicitly build such an embedding and we will explore its geometry. This is a common work with the Hevea team.