Programme

Le programme scientifique sera constitué d'un mini-cours de Bernard Helffer et de trois exposés de Mehdi Badsi, Rémi Carles et Hélène Hivert.

Programme prévisionnel

Accueil

• 10h15-11h15 Bernard Helffer (1/2)
• 11h20-12h00 Hélène Hivert

Déjeuner

• 13h30-14h30 Bernard Helffer (2/2)

Pause

• 15h00-15h40 Mehdi Badsi
• 15h45-16h25 Rémi Carles

Titres et résumés

• Bernard Helffer : Effet tunnel magnétique

Dans ce minicours nous regarderons la question d'estimer l'écart entre les deux premières valeurs propres de l'opérateur de Schrödinger magnétique avec potentiel électrique, dans le cas d'une symétrie.

Obtenir un équivalent de cet écart dans la limite semi-classique est lié à l'étude de l'effet tunnel.

Le problème est délicat et reste ouvert en général.

Dans un cas particulier raisonnablemnt physique considéré par Fefferman-Schapiro-Weinstein nous obtenons avec A. Kachmar le résultat optimal.

• Mehdi Badsi : Analyse d’un modèle de Vlasov-Poisson modélisant l’interaction d’un plasma avec une sonde de Langmuir cylindrique

On construit des solutions stationnaires pour un modèle de Vlasov-Poisson à deux espèces avec des conditions aux bords de type absorption-émission. Nous présenterons l’étude détaillée de l’espace des phases qui permet de réduire l’analyse à un problème de Poisson non linéaire et non local. Nous énoncerons un résultat d’existence et donnerons quelques éléments de preuve. Nous illustrerons certaines des solutions obtenues à l’aide de simulations numériques et commenteront ces résultat à l’aune de l’état de l’art en matière de modélisation cinétique des sondes de Langmuir.

• Rémi Carles : Ensemble pathologique et perte de régularité pour l'équation de Schrödinger non linéaire

Nous montrons que le problème de Cauchy pour l'équation de Schrödinger avec non-linéarité surcritique au niveau Lˆ2 est mal posé dans certains espaces de Sobolev. Plus précisément, nous montrons que pour des données initiales issues d'un ensemble dense, l'évolution non linéaire de certaines régularisations de ces données mène à un phénomène de perte de régularité. La preuve suit le schéma introduit pour l'équation des ondes, qui repose malgré tout sur la vitesse finie de propagation. Cette étape est adaptée grâce aux propriétés des développements BKW dans un cadre surcritique, qui font intervenir l'équation d'Euler compressible. La preuve utilise en outre une fonctionnelle d'énergie modulée (renormalisée), ainsi que des estimations localisées en espace pour la solution exacte. Il s'agit d'un travail en commun avec Louise Gassot.

• Hélène Hivert : Concentration dans un modèle de population structuré en âge et en trait phénotypique : un schéma asymptotic-preserving

On considère une population structurée en âge et en trait phénotypique, qui influence l'adaptation des individus à leur environnement. L'évolution de la population est soumise à de la sélection et à des mutations. Chaque individu naît avec un trait phénotypique issu de son parent, mais modifié par de petites mutations. La pression de la population sur son environnement limite son expansion, et avantage les individus les mieux adaptés. En considérant la population dans une asymptotique de temps long et de petites mutations, et sous des hypothèses appropriées, la distribution de la population se concentre en certains traits dominants. Ces traits dominants peuvent également évoluer en temps, grâce aux mutations. D'un point de vue technique, cette dynamique de concentration est mise en évidence en utilisant une transformée de Hopf-Cole dans le modèle de départ. Le régime asymptotique est une équation de Hamilton-Jacobi avec contrainte, dans laquelle la contrainte présente naturellement des sauts. Nous proposons et discutons une stratégie pour la construction d'un schéma asymptotic-preserving pour ce problème, qui s'appuie sur une compréhension formelle du modèle continu. La discrétisation de l'équation de Hamilton-Jacobi contrainte sera également discutée.