Rencontres Doctorales Lebesgue 2014

Diapos de certains exposés : .tar.gz


Bertrand Deroin : "La théorie des groupes ordonnables."
À l'origine algébrique, cette théorie s'est rapprochée récemment de la topologie et de la dynamique. Je décrirai certains aspects de cette évolution.

Cyril Imbert : "Équations de Hamilton-Jacobi sur des réseaux ."
Dans cet exposé, il sera question d'équations de Hamilton-Jacobi posés sur des réseaux. Les équations de Hamilton-Jacobi sont des équations aux dérivées partielles qui apparaissent dans grand nombre de domaines mathématiques : systèmes dynamiques, géométrie, probabilités, analyse fonctionnelle etc. La théorie des solutions de viscosité introduite par Crandall et Lions en 1981 est la bonne approche pour pouvoir montrer des résultats d'unicité forte, d'existence et de stabilité de solutions. Quand ces équations sont posées sur des domaines à géométrie singulière, comme un Y, la théorie classique ne suffit plus. Nous avons développé avec Régis Monneau une théorie qui permet de traiter complètement le cas d'Hamiltoniens quasi-convexes en particulier sur un Y, mais aussi sur des réseaux.

Florent Malrieu : "Quelques exemples de processus de Markov déterministes par morceaux."
Une trajectoire déterministe ponctuée par des sauts aléatoires, telle est la dynamique que nous considèrerons dans cet exposé. Après avoir donné quelques exemples tirés de différents domaines applicatifs, nous décrirons leur comportement en temps long. Ceci nous donnera l'occasion de parler de couplage, de contrôle déterministe ou encore de décomposition spectrale.


Alexandre Afgoustidis : "Votre cortex visuel héberge une représentation d'un groupe de Lie."
Le cortex visuel primaire est situé chez nous à l'arrière de la tête ; c'est un des relais fondamentaux pour le traitement de l'information visuelle, et une des aires les mieux connues du cerveau. Chez de très nombreuses espèces (et cela inclut les primates), l'arrangement des "spécialités" des neurones y a une géométrie remarquable, et des expériences récentes ont montré qu'il y a une propriété statistique des singularités cet arrangement (la "densité de pinwheels") dont la valeur expérimentale est mystérieusement commune à toutes les espèces. Cette valeur expérimentale est 3.14 et des poussières...

Antoine Benoit : "Problème aux limites hyperbolique et optique géométrique."
Résumé.

Christèle Bioche : "Approximation d'a priori impropres par des a priori vagues."
En analyse bayésienne, il arrive rarement que les informations a priori dont on dispose soient assez précises pour décider clairement d'une distribution a priori. Différentes approches consistent donc à utiliser des a priori non-informatifs comme par exemple des a priori uniformes sur des domaines non-bornés, l'a priori de Jeffreys ou les mesures de Haar. Cependant, ces a priori sont souvent impropres et peuvent mener à des a posteriori impropres. On cherche alors à travailler avec des a priori dits « vagues », c'est-à-dire propres mais donnant le moins d'informations possible sur le paramètre. Les a priori « vagues » sont censés approcher les a priori non-informatifs mais dans les topologies usuelles une suite de lois de probabilité ne peut avoir pour limite une mesure de masse totale strictement supérieure à 1. Nous proposons donc un mode de convergence pour les distributions a priori autorisant une suite de mesures de probabilités à avoir pour limite une mesure impropre. Nous pourrons donc définir une suite d'a priori vagues comme une suite de mesures de probabilité qui converge vers un a priori non-informatif. Nous revisiterons le paradoxe de Jeffreys-Lindley à l'aide de ce nouveau mode de convergence.

Julien Bled :

Pierre Bosch : "Autour de l'infinie divisibilité."
Une mesure de probabilité m est dite infiniment divisible si pour tout n, il existe une mesure de probabilité m_n telle que m = m_n^*n, où * désigne le produit de convolution. Au niveau des variables aléatoires, cela se traduit par une décomposition en une somme indépendante X = X_1 + … + X_n. Cette notion est très importante en probabilité car la classe des lois infiniment divisibles est en bijection avec l'ensemble des processus de Lévy, utilisés pour modéliser de nombreux phénomènes. Je vous propose un aperçu des résultats et des techniques de ce domaine.

Adrien le Boudec : "Groupe de presque-automorphismes d'un arbre."
Si T est un arbre régulier localement fini, son bord à l'infini dT est un espace métrique isomorphe à un espace de Cantor. Tout automorphisme de l'arbre induit naturellement un homéomorphisme du bord, si bien que Aut(T) est un sous-groupe du groupe (énorme) Homeo(dT). Dans cet exposé je parlerai d'un groupe intermédiaire, introduit par Neretin dans les années 90, composé des homéomorphismes du bord de l'arbre dont l'action provient localement d'un automorphisme de l'arbre.

Ludovic Cesbron : "Diffusion anormale en limite d’équation cinétique sur un domaine borné."
On s’intéresse à un plasma de particule évoluant dans un domaine bornée en suivant un processus stochastique de type Langevin. A l’échelle cinétique, l’évolution de ce plasma peut être décrite par l’équation de Vlasov-Lévy-Fokker-Planck. Après une brève présentation des opérateurs non-locaux considérés et leur lien avec les processus sous-jacents, on se penchera sur l’étude du système VLFP dont on étudiera la limite macroscopique. On montrera que la densité de particule du plasma est solution d’une équation de diffusion anormale adaptée au domaine considéré.

Florent Demeslay : "Analogies entre corps de nombres et corps de fonctions."
L'analogie entre corps de nombres et corps de fonctions, les deux types de corps globaux, a vu le jour au milieu du XIXe siècle et reste depuis une motivation importante en théorie algébrique des nombres. Plusieurs conjectures célèbres ont vu leurs analogues côté corps de fonctions démontrés, le plus célèbre exemple étant l'hypothèse de Riemann par Weil dans les années 40. Dans cet exposé, on s'intéressera plus spécialement à certaines valeurs des fonctions zêta, quelques résultats de transcendance et à la formule de classes en essayant toujours de montrer l'intérêt de l'analogie entre les deux théories.

Laurent Dietrich : "Augmentation de la vitesse de fronts de réaction-diffusion par une ligne de diffusion rapide".
Dans un premier temps j'introduirai la notion de vitesse de propagation dans les équations de réaction-diffusion et leur lien avec les fronts progressifs. Dans un second temps, je présenterai un nouveau système d'équations dont le but est de donner une explication mathématique à l'influence des réseaux de transports routiers sur les invasions biologiques. J'expliquerai qu'une ligne de diffusion rapide augmente la vitesse usuelle des fronts progressifs dans sa direction de manière asymptotiquement proportionnelle à la racine de sa diffusivité. On caractérisera cette asymptotique à l'aide d'un système hypoelliptique a priori dégénéré.

Charlotte Euvrard : "Critère explicite pour l’égalité de fonctions L d’Artin."
Résumé.

Julien Letemplier : "Aire d'un processus de Lévy stable arrêté en zéro."
L'idée de cet exposé est de prendre un processus de Lévy stable, et d'évaluer son aire jusqu'au moment où celui-ci touche 0. Après avoir traité le cas du mouvement brownien, nous verrons quel résultat il est possible d'obtenir dans le cas d'un processus stable d'indice a dans [1,2], sans saut négatif.

Mawaki Manou-Abi : "Théorèmes de convergence de certaines fonctionnelles markoviennes vers des processus stables."
Résumé.

Antoine Marnat : "Autour des exposants d'approximation diophantienne."
On définit des exposants d'approximation diophantienne pour quantifier comment un ou plusieurs réels peuvent être approchés par des rationnels. On s'intéresse alors au spectre des valeurs que prennent ces exposants. Pour cela on utilise des outils de théorie géométrique des nombres et de dynamique, dont on tachera de donner un aperçu.

Benjamin Melinand : L’objectif de cet exposé est d'expliquer via une approche mathématique rigoureuse les météo-tsunamis, ondes océaniques non pas créées par un tremblement de terre mais par une perturbation météorologique. Le déplacement de grosses tempêtes en pleine mer peut entraîner une amplification du niveau des eaux par un phénomène de résonance appelé résonance de Proudman. Cette dernière se produit si la vitesse de déplacement de la tempête est proche de la vitesse de groupe typique des ondes océaniques. Pour pouvoir comprendre ce phénomène, on s’appuie sur l’étude de l’équation des vagues via la formulation de Zakharov et Craig-Sulem, à laquelle on adjoint un terme de pression non constant. Une étude du problème de Cauchy est alors nécessaire ainsi qu'une étude asymptotique de ces équations.

Gwenaël Mercier : "Quelques résultats sur les minimiseurs de la variation totale."
On introduira la fonctionnelle de variation totale dans le paysage du traitement d'images. On verra ensuite comment ses minimiseurs sont naturellement liés à des problèmes géométriques autour des surfaces minimales, et comment la connaissance de ces problèmes apporte des information sur la régularité de ces minimiseurs.

Pierre Monmarché : "Inégalités fonctionnelles et PDMP contractifs."
Une méthode classique d'étude de l'ergodicité d'un processus markovien repose sur des inégalités fonctionnelles satisfaites par certains opérateurs. On adaptera cette démarche à certains cas de processus déterministes pas morceaux (PDMP).

Charlotte Perrin : "Pression singulière et équations de Navier-Stokes compressibles."
Le but de cet exposé est d'introduire des bases théoriques pour l'étude des équations de Navier-Stokes compressibles barotropes modélisant l'écoulement l'écoulement d'un fluide compressible. On discutera dans un second temps de l’intérêt théorique et physique de l'ajout d'un terme de pression dégénérée dans les équations.

Kevin Quirin : "Théorie des types homotopique."
La théorie des types homotopique est une interprétation de la théorie des types intentionnelle de Martin-Löf dans la théorie de l’homotopie. L’égalité propositionnelle est interprétée comme l’homotopie, et l’isomorphisme de type est l’équivalence d’homotopie. Les constructions logiques en théorie des types correspondent alors aux constructions invariantes par homotopie sur les espaces, alors que les théorèmes et même les preuves dans ce système logique ont un sens homotopique. Comme la théorie de l’homotopie, la théorie des types est essentiellement liée à la théorie des catégories supérieures (utilisée par exemple dans la notion de topos supérieur).

Valentine Roos : "Différentes solutions de l'équation de Hamilton-Jacobi."
Il existe plusieurs types de solutions faibles à l'équation de Hamilton-Jacobi, qui peuvent se distinguer même dans des situations très simples. Après avoir rappelé quelques notions de dynamique hamiltonienne dans un cadre symplectique, on définira les notions de solution de viscosité et de solution variationnelle. En observant les propriétés géométriques de la solution variationnelle, on distinguera les deux solutions dans certains cas.

Julien Stoehr : "Introduction aux méthodes ABC et applications aux champs de Gibbs cachés."
Choisir entre différentes structures de dépendance d’un champ de Markov caché est difficile, en raison de la constante de normalisation de la vraisemblance, incalculable explicitement, et de la somme sur tous les champs latents possibles. Les méthodes bayésiennes approchées, aussi connues sous l’acronyme de méthodes ABC, fournissent une procédure de choix de modèle dans le paradigme bayésien. Ces méthodes sont basées sur la comparaison de données observées avec de nombreuses simulations numériques, au travers de statistiques résumées. Lorsque le champ de Gibbs est directement observé, Grelaud et al. (2009) exhibent des statistiques résumées exhaustives qui garantissent, de façon immédiate, la consistance de l’algorithme. En revanche, lorsque le champ aléatoire est caché, ces statistiques ne sont plus exhaustives. L'exposé sera l'occasion d'une introduction aux méthodes ABC et aux difficultés qu'elles soulèvent. Puis nous nous intéresseront plus particulièrement à l'intérêt de ces méthodes dans le cas d'un champ de Gibbs latent, en introduisant de nouvelles statistiques résumées basées sur la géométrie de l'image.

Nil Venet :

Thibaut Verron : "Bases de Gröbner et systèmes structurés."
a résolution exacte d'équations polynomiales est un problème central en calcul formel, et les bases de Gröbner sont un outil permettant de s'y attaquer. Cependant, calculer une base de Gröbner pour un système donné peut s'avérer difficile. Une stratégie qui a fait ses preuves dans de nombreux cas consiste à s'appuyer sur la structure des systèmes que l'on cherche à résoudre en pratique. Les gains peuvent être à la fois théoriques (meilleures bornes de complexité) et pratiques (algorithmes sensiblement plus rapides). Dans cet exposé, après avoir expliqué les problématiques, on montrera par des exemples comment cette stratégie peut s'appliquer.

Bruno Winckler : "Intersection arithmétique."
Une préoccupation centrale des arithméticiens est la résolution d’équations polynomiales, avec la restriction que les solutions soient entières, ou au moins rationnelles. Actuellement, une idée directrice est de voir l’ensemble des solutions d’une telle équation comme une courbe, et d’utiliser des méthodes géométriques pour déterminer les solutions : par exemple, un seul point à coordonnées rationnelles sur un cercle permet d’obtenir tous les autres en considérant les points d’intersection de ce cercle avec les droites passant par notre point de base. À l’inverse, l’algèbre enrichit la géométrie et permet d’étudier des surfaces dans un sens plus large que celui communément admis ; par exemple, une courbe définie par une équation polynomiale à coefficients entiers est, sous de bonnes hypothèses, apparentée à une "surface arithmétique", et mon exposé expliquera comment, en développant une théorie de l’intersection sur ces surfaces d’un nouveau genre, on peut obtenir des informations sur la taille de ses points à coefficients entiers.

Partenaires

Irmar LMJL ENS Rennes LMBA LAREMA

Tutelles

ANR CNRS Rennes 1 Rennes 2 Nantes INSA Rennes INRIA ENSRennes UBO UBS Angers UBL