Liste des cours

Aléatoire

Premier semestre [collapsed title="Processus stochastiques, Rennes, Ying Hu, (sem.1)"] L’objectif de ce cours est de donner une présentation concise mais rigoureuse de la notion d’intégrale stochastique par rapport aux semi-martingales continues, en portant une attention particulière au mouvement brownien, qui jouera le rôle de fil conducteur. [/collapse] [collapsed title="Calcul stochastique, Rennes, JC Breton, (sem.1)"] Ce cours fait suite à celui de Processus stochastiques. Le cours commence par l’étude de quelques outils fondamentaux du calcul stochastique (formule d’Itô, théorème de Girsanov, représentation de martingale) puis explore la notion d’équation différentielle stochastique. [/collapse] [collapsed title="Systèmes dynamiques et théorie ergodique, Rennes, C. Cuny, (sem.1)"] L’objet du cours portera sur les systèmes dynamiques donnés par une transformation T mesurable sur un espace de probabilité (X,B,µ) dont il préserve la mesure µ. De tels systèmes abondent, les exemples typiques incluant les translations par un nombre irrationnel sur R/Z ou les éléments de Mn(Z) agissant sur Rn/Zn. L’objectif est d’étudier les propriétés statistiques de Tn quand n →∞. Les thèmes abordés seront : ergodicité, mélange, mélange fort; théorèmes ergodiques; unique ergodicité; entropie. [/collapse] [collapsed title="Statistique des processus, Rennes, N. Klutchnikof, (sem.1)"] Ce cours traite de diverses procédures d’estimation pour des processus stochastiques à temps continu possédant des sauts. Nous considérons dans un premier temps les propriétés classiques des processus de comptage et de renouvellement, avant d’étudier plus en détail le processus de Poisson simple et ses généralisations comme les processus de Poisson inhomogènes et composés. Les processus de Markov à sauts purs sont également abordés d’un point de vue probabiliste et statistique. On donnera enfin pour terminer quelques méthodes d’estimation pour des modèles de solutions d’équations différentielles stochastiques. [/collapse] [collapsed title="Estimation paramétrique, Rennes, G. Stupfler, (sem.1)"] Ce cours est centré sur la question de l’estimation dans les modèles paramétriques, c’est-à-dire lorsque la loi inconnue est décrite par un paramètre de dimension finie. Le cours commencera par uneexpositiondesméthodesclassiquesd’estimationpourcetypedemodèle.Ondiscuteraensuite de notions permettant de comparer les estimateurs paramétriques, ainsi que leur optimalité. Une ouverture vers le cadre semi-paramétrique, dans le cadre de la statistique des valeurs extrêmes, sera présentée. [/collapse]
[collapsed title="Estimation non paramétrique, Rennes, M.Hristache, (sem.1)"] Dans ce cours, nous nous attachons à estimer des objets de dimension infinie tels qu’une densité de probabilité ou une fonction de régression. Le cours se décompose en trois parties. Nous passons tout d’abord en revue les méthodes principales d’estimation non-paramétrique telles que les méthodes à noyau, les estimateurs par projection et les méthodes de régularisation. Puis nous nous intéressons à l’optimalité des procédures et aux bornes indépassables de performance : c’est la théorie minimax. Enfin, en lien avec la théorie de l’apprentissage statistique, nous étudions des méthodes dites de sélection de modèles, permettant l’adaptation des estimateurs, ces derniers atteignants des vitesses optimales d’estimation sous diverses hypothèses sur les fonctions à estimer. [/collapse]

[collapsed title="Introduction à l'intégrale stochastique, Nantes, M. Escobar-Bach (sem.1)"] A stochastic process is a phenomenon which evolves through time with a random trajectory, and as such, is represented as a family of random variables indexed by time. In this course, we propose to study the various implications brought by such random object, and hence introduce the concepts of the stochastic process and the stochastic integration. We will first construct and review some basic facts about the Brownian motion, including its Markov property, as it represents a major stochastic process example. Next, we will introduce the concept of the continuous semi-martingale in order to finally construct the stochastic integral with respect to a continuous semi-martingale. [/collapse]

Second semestre [collapsed title="Chemins rugueux, Rennes, I. Bailleul, (sem.2)"] Un grand nombre de systèmes naturels sont décrits par des chemins à valeurs dans un espace de Banach ayant une dynamique décrite par des équations différentielles y˙t = f(yt)h˙ t. Une telle équation traduit le fait que l’accroissement infinitésimal du chemin y est proportionnel à l’accroissement d’un signal h qui le conduit. Les équations élémentaires correspondent au cas où ht = t, mais de nombreuses situations requièrent de considérer le cas de signaux h pas même dérivables ; c’est typiquement le cas qui se présente dans l’étude des équations différentielles stochastiques, où h est une trajectoire de mouvement brownien. Comment alors donner un sens à l’équation ci-dessus ? La théorie des chemins rugueux fournit un cadre optimal pour répondre à de telles questions, dont le cadre d’application va des systèmes contrôlés, déterministes ou stochastiques, à l’étude d’ÉDPs avec bruit aléatoire et au machine learning ! Ce cours sera aux deux tiers purement déterministe et pourra à ce titre intéresser également tous les étudiants du parcours Analyse. [/collapse]

[collapsed title="Processus stochastiques à sauts, Rennes, M.Gradinaru, (sem.2)"] Ce cours contiendra un grande partie d’introduction aux processus stochastiques ayant des sauts (essentiellement des processus de Lévy et si possible les subordinateurs) et au calcul stochastique associé, des ÉDS dirigées par des processus à sauts, etc. Dans une deuxième partie on donnera quelques exemples de modèles qui pourront reposer sur ce type de processus. [/collapse]
[collapsed title="Zéros de processus gaussiens, Rennes, J. Angst et G. Poly, (sem 2)"] Nous commencerons par introduire les concepts principaux des champs Gaussiens aléatoires et quelques inégalités fonctionnelles classiques (Slepian, Sudakov, Fernique, isopérimétrique..). Ensuite nous étudierons des critères de régularité de ces processus, loi du maximum sur un compact, la loi du nombre d’extrema locaux ou la loi du nombre de zéros (volume des zéros si d>1) par les formules de Kac-Rice ou encore le développement en chaos de Wiener. Diverses applications seront proposées : polynômes trigonométriques aléatoires, différents modèles de polynômes algébriques ("Kac", "Elliptiques", "Flat"..) [/collapse] [collapsed title="Systèmes de particules en interaction de champ moyen : modélisation et analyse mathématique, Nantes, P.E. Chaudru de Raynal (sem.2)"] The main objective of this course consists in introducing stochastic mean field interacting particles systems as well as their asymptotic counterpart known as McKean-Vlasov stochastic systems. These systems describe, respectively, the random evolution of a large number of particles/agents which interact with each other through the empirical measure of the system ; and the dynamic of one of these particles in the asymptotic (with respect to the number of agents) regime. This relies on the theory of Stochastic Dierential Equations which will play a central role along the lectures. If time allows, connections with (non-linear) PDEs will be discussed. [/collapse]

[collapsed title="Deux cours de statistique, Campus ENSAI, (sem.2)"]

  • Fouille du web et traitement du langage: ce cours est une introduction à la collecte de données textuelles et au traitement automatique du langage.

  • Analyse des données fonctionnelles: Dans ce cours les étudiants apprennent les idées principales, la théorie associée et les routines numériques de l’analyse des données fonctionnelles. [/collapse]

Algèbre et géométrie

Premier semestre

[collapsed title="Dynamique arithmétique I et II, Rennes, S. Cantat, (sem.1)"] Le cours (I et II) présentera des méthodes arithmétiques, analytiques et p-adiques pour la théorie des groupes et les systèmes dynamiques. Les applications concerneront — la dynamique des transformations polynomiales et les phénomènes “d’intersections improbables” ; — les groupes linéaires et l’alternative de Tits ; — la distribution et la croissance arithmétique des orbites de transformations algébriques (hauteur de Tate, extensions du théorème de Skolem, Mahler et Lech, etc). [/collapse] [collapsed title="Surfaces de Riemann, Rennes, F. Loray, (sem.1)"] Après quelques rappels sur les variétés, revêtements, nous introduirons la notion de variétés complexes et fonctions holomorphes. Les surfaces de Riemann sont les variétés complexes connexes de dimension 1 (surfaces réelles équipées d’une structure complexe). Nous donnerons des exemples :

  • la sphère de Riemann et ses automorphismes,
  • les tores complexes, automorphismes et classification,
  • les courbes algébriques définies sur les complexes. Nous détaillerons le cas des courbes elliptiques, et leur loi de groupe. Nous aborderons (sans le démontrer) le théorème d’uniformisation de Poincaré-Koebe qui dit qu’une surface de Riemann admet pour revêtement universel le disque, le plan ou la sphère complexes. Nous verrons quelques conséquences. Nous introduirons les notions de diviseur, de fibrés en droites et de groupe de Picard. Nous introduirons les notions de faisceaux, et de cohomologie de Cech, pour arriver au théorème de Riemann-Roch. Enfin, nous terminerons, si le temps le permet, par l’application d’Abel-Jacobi. [/collapse] [collapsed title=" Géométrie complexe, Rennes, B. Claudon, (sem.1)"]
    Ce cours est la suite logique de celui de "Surfaces de Riemann". L’objectif principal de ce cours est de démontrer le théorème de plongement de Kodaira qui caractérise complètement les variétés projectives lisses parmi les variétés complexes compactes en termes d’existence de certaines fibrés en droites. Pour ce faire, nous aborderons les points suivants : -calcul différentiel complexe et cohomologie de Dolbeault des fibrés vectoriels holomorphes -métriques hermitiennes sur les variétés complexes, cas des métriques kählériennes -notion de connexion sur un fibré vectoriel, connexion de Chern d’un fibré holomorphe hermitien -Laplaciens et théorie de Hodge -fibrés en droites amples/positifs et théorèmes d’annulation. [/collapse]

[collapsed title="Groupes et algèbres de Lie I et II, Rennes, F. Maucourant & B. Schapira, (sem.1)"] Les mots clés de la première partie : définition des groupes et algèbres de Lie, exemples classiques ; représentations de sl(2,C) et sl(3,C) ; algèbres de Lie résolubles, nilpotentes, semi-simples ; sous-algèbres de Cartan [/collapse]

[collapsed title="Introduction to differential geometry, Nantes, E.Brugallé, (sem.1)"] The purpose of this course is to introduce, through many examples, differentiable manifolds and classical differentiable objects that lives on these : vector fields, diffeomorphisms, differential forms, de Rahm Cohomology. [/collapse]

[collapsed title="Introduction to affine algebraic geometry Nantes, S. Zimmerman, (sem.1)"] Une variété algébrique affine est l'ensemble des racines d'un polynôme complexes à plusieurs variables. Par exemple, une parabole est une variété affine, ainsi que toute droite et le graphe d'un polynôme. De l'autre côté, on peut regarder l'anneau des fonctions régulières dfinie sur une variété affine. En fait, c'est le quotient d'un anneau des polynômes par l'ideal engendré par les polynômes qui définissent la variété. La géométrie de la variété affine est très liées aux propriétés de son anneau des fonctions régulières. La géométrie et l'algèbre se rencontrent ici. Ce cours est une introduction à la géométrie algébrique affine. Pré-requis sont des bases en algèbre commutatif (anneaux, quotients des anneaux par des idéaux). [/collapse]

[collapsed title=" Topologie algébrique : an introduction , Nantes, B. Chantraine, (sem.1)"] Le but du cours sera d'introduire les premiers outils de la topologie algébriques. Nous commencerons par étudier les revêtements des espaces topologiques et leurs transformations. Cela permettra de définir le groupe fondamental. Nous verrons certains outils permettant de calculer celui-ci, notamment le théorème de van Kampen. Ensuite nous introduirons l'homologie singulière des espaces et étudierons leurs aspects fonctorielsl. Cela nous permettra d'aborder certains aspects de base de l'algèbre homologique de base. Nous terminerons par définir l'homologie cellulaire et certaines méthode pour la calculer. Le cours sera illustré par beaucoup d'exemples explicite [/collapse]

Second semestre [/collapse] [collapsed title="Équations différentielles algébriques, Rennes, G. Casale, (sem.2)"] Ce cours est une introdution à la theorie de Galois des équations differentielles presentées de manière géometrique via la notion de feuilletage. 1 - Etude locale en un point régulier, théorème de Cauchy. Notion de feuilletage : théorème de Frobenius. 2- Théorie de Galois différentielle

  • approche algébrique via les extensions de corps différentiels
  • traduction géométrique via la réduction du groupe d’une connexions principales 3 - Equations differentielles linéaire sur une surface de Riemann
  • étude des singularités régulières (et irrégulières)
  • representation de monodromy (et phénomènes de Stokes)
  • théorème de densité de Schlessinger (et théorème de densité de Ramis) 4 - Exemples : équation du second ordre
  • Equations hypergeometriques
  • Famille de Legendre et son équation de Picard-Fuchs
  • Structure projective sur une courbe algébrique complexe. [/collapse]

[collapsed title="Systèmes dynamiques hyperboliques, Rennes, S. Gouëzel, (sem.2)"] Les systèmes dynamiques hyperboliques sont l’exemple le plus simple (et le mieux compris) de systèmes dynamiques chaotiques : il s’agit de transformations sur un espace compact qui, en chaque point, dilatent uniformément une direction et contractent uniformément une direction supplémentaire. L’étude de ces transformations combine des arguments provenant de différents domaines des mathématiques (principalement géométrie, mais également analyse, probabilités, algèbre, combinatoire). On couvrira les propriétés fondamentales de ces systèmes (existence de variétés stables et instables, stabilité structurelle, recollement d’orbites, partitions de Markov), avant de s’intéresser à des théorèmes plus avancés : classification des difféomorphismes d’Anosov à homéomorphisme près, sur les tores et plus généralement sur les nilvariétés ; absolue continuité des feuilletages, ergodicité ; croissance du nombre d’orbites périodiques (théorème de Margulis).

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[collapsed title="Introduction à la géométrie torique, Rennes, C. Tipler, (sem.2) "], Dans ce cours, on étudiera les variétés qui sont obtenues par compactification d’un tore complexe. On donnera leur description combinatoire en terme d’éventails, établissant un lien entre la géométrie des objets convexes (cônes, polytopes, etc) et la géométrie algébrique. On étudiera par la suite les diviseurs et faisceaux cohérents de ces variétés, en particulier leur cohomologie. Enfin, si le temps le permet, le cours s’orientera vers l’étude des singularités toriques et leurs résolutions. [/collapse] [collapsed title="Branched covers in low dimensions, Nantes, M. Golla, (sem.2)"] On étudiera les revêtements ramifiés des variétés lisses en dimension 3 et 4. Cela porte naturellement sur l'étude des n÷uds et des entrelacs dans le 3-variétés, des5 4-variétés à bord, et des surfaces plongées dans le 4-variétés. On montrera le théorème de G-signature en dimension 4 et on donnera quelques applications, en particulier aux plongements des surfaces (singulières ou pas) dans des 4-variétés. En fonction des intérêts du public et du temps à disposition, on pourra faire des liaisons avec la géométrie complexe, de contact ou symplectique. Les notions de base en topologie différentielle et algébrique, au niveau des cours du premier semestre et du séminaire des étudiants, sont essentielles ; les notions de topologie en basse dimension seront introduites le long du cours.

[/collapse] [collapsed title="Branched covers in low dimensions, Nantes, M.Golla, (sem.2)"] On étudiera les revêtements ramifiés des variétés lisses en dimension 2, 3 et 4. On commencera avec la formule de Riemann–Hurwitz pour les surfaces; après, on regardera les revêtements des 3-varié et´es ramifiés sur entrelacs et les 4-variétés qu’ils bordent. Après on montrera le théorème de G-signature en dimension 4 et on donnera quelques applications, en particulier aux plongements des surfaces (singulières ou pas) dans des 4-variétés. En fonction des intérêts du publique, on pourra faire des liaisons avec la géométrie complexe, de contact ou symplectique. Les connaissances en topologie différentielle et algébrique, au niveau des cours du premier semestre et du séminaire des étudiants, est essentielle; les notions de topologie en baisse dimension seront révisés le long du cours. [/collapse]

[collapsed title="Riemann surfaces, Nantes, G. Carron, (sem.2)"] L'étude des surfaces de Riemann est un sujet à la croisée de la géométrie, de l'algèbre, de la théorie des groupes, de la topologie, de l'analyse complexe et de l'analyse sur les variétés. L'objectif de ce cours est donc d'introduire plusieurs outils géométriques, algébriques, analytiques pour appréhender plusieurs aspects des surfaces de Riemann. Les surfaces de Riemann peuvent être dénies comme des variétés complexes de dimension 1, ce sont donc des espaces topologiques qui sont localement homéomorphes à un ouvert de C et on dispose donc de notions de fonctions holomorphes, méromorphes. Historiquement, la définition de surfaces de Riemann a émergée pour donner un sens géométrique et topologique aux fonctions holomorphes multivaluées comme √ z, log z. Un seconde définition équivalente est celle d'une variété réelle de dimension 2 (d'où le nom de surface) équipée chaque espace tangent d'une rotation d'angle +π/2 ou d'une façon de mesurer les angles orientées. On étudiera par exemple les fonctions méromorphes et les liens de l'étude des fonctions méromorphes avec la classification des fibrés en droites complexes sur la surface, avec la topologie de la surface et cette étude mènera au théorème de Riemann-Roch, il s'agit d'une formule pour la dimension de l'espace des fonctions méromorphes dont on prescrit les pôles. Ce théorème permet une classification de certaines surfaces (de genre 0et 1). Le théorème d'uniformisation des surfaces de Riemann est un résultat majeur démontré au début du XXième siècle par Koebe et Poincaré. Ce théorème permet de géométriser les surfaces de Riemann et de classifier les surfaces de Riemann compactes. On essayera d'en appréhender certaines facettes avec en fonction du développement du cours des approches via l'analyse complexe, la théorie du potentiel (étude des fonctions harmoniques) ou d'analyse globale en étudiant la courbure de Gauss. Bibliographic references :

  • Ahlfors, L., Complex Analysis, McGraw Hill, 1966.
  • Farkas, H., and Kra, I., Riemann surfaces, Springer, 1980.
  • Forster, O. : Lectures on Riemann surfaces, Graduate Texts in Mathematics, vol.81, Springer-Verlag, Berlin,1981.
  • Griffiths, P., and Harris, J., Algebraic geometry, Wiley-Interscience, 1978.
  • Jost J., Compact Riemann Surfaces, An Introduction to Contemporary Mathematics, Universitext, Springer, 2002.
  • de Saint-Gervais H.-P., Uniformisation des surfaces de Riemann, Retour sur un théorème centenaire, ENS Édition, 2011. (An english translation is also available) [/collapse]

[collapsed title="Introduction à la géométrie riemannienne et kählérienne, Nantes, V. Apostolov, (sem.2)"] Ce cours est proposé comme une introduction à la géométrie riemannienne et sa spécialisation sur les variétés complexes, la géométrie kählérienne. Nous couvrirons les sujets classiques suivants : Variétés riemanniennes, connexions, géodésiques. Exemples de variétés riemanniennes. Lemme de Gauss, application exponentielle, théorème de Hopf-Rinow. Transport parallèle, holonomie, théorème d'irréductibilité. Variation première et seconde de la longueur, champs de Jacobi. Courbure sectionnelle, courbure de Ricci, courbure scalaire. Théorèmes de Bonnet-Myers, de Synge, et de Cartan-Hadamard. Uniformisation des variétés riemanniennes à courbure sectionnelle constante. Théorème de Hodge-De Rham. Champs de Killing et le théorème de Bochner. Métriques kählériennes sur une variété complexe : l'exemple de l'espace projectif complexe. Courbure sectionnelle holomorphe ; le tenseur de Ricci et la courbure scalaire d'une variété kahléienne. Variétés de Calabi-Yau, Kähler-Einstein, et à courbure scalaire constante. Métriques extrémales de Calabi. Exemple : les surfaces complexes de Hirzebruch. [/collapse]

Analyse-Probabilité

Premier semestre [collapsed title="Théorie spectrale, Rennes, S. Vũ Ngọc, (sem.1)"] Ce cours est un introduction aux opérateurs non bornés, qui généralisent les matrices aux espaces de dimension infinie. On discutera de leur spectre, et on appliquera les résultats théoriques aux opérateurs différentiels (ou pseudo-différentiels), souvent issus de la physique.

[/collapse] [collapsed title="Analyse microlocale, Rennes, C. Cheverry, (sem.1)"] Ce cours fait suite à celui de Théorie spectrale. Il a trait à l’étude des opérateurs pseudodifférentiels, qui sont une généralisation des opérateurs différentiels et permettent une résolution particulièrement agréable de certaines équations aux dérivées partielles linéaires. On se concentrera sur la version dite semiclassique, qui met bien en valeur les aspects géométriques, et permet des applications à la théorie spectrale des opérateurs de type Schrödinger.

[/collapse] [collapsed title="Espaces de Sobolev & équations elliptiques, Rennes, M. Rodrigues, (sem.1)"] La première partie du cours concerne les espaces de Sobolev. On montrera les théorèmes d’injection de Sobolev dans le cas d’ouverts assez généraux. On étudiera les espaces fractionnaires et la théorie des traces. La deuxième partie sera consacrée aux équations aux dérivées partielles elliptiques. Le cas linéaire sera d’abord considéré, avec différents types de conditions aux limites. Enfin, des techniques adaptées aux équations elliptiques non-linéaires seront introduites (méthodes de Galerkin, de point fixe, etc.). [/collapse] [collapsed title="Équations hyperboliques, Rennes, V. Duchêne, (sem.1)"] Ce cours fait suite à celui intitulé Espaces de Sobolev & équations elliptiques. Il s’agit d’une introduction à l’analyse des équations aux dérivées partielles d’évolution, menée sur l’exemple des systèmes hyperboliques quasi-linéaires. L’essentiel du cours est consacré aux lois de conservation scalaires non linéaires, et en étudie à la fois les solutions fortes et entropiques, mais il aborde aussi les systèmes hyperboliques linéaires. En chemin, pour considérer les limites de viscosité évanescente, nous verrons quelques rudiments sur les systèmes paraboliques semi-linéaires. [/collapse] [collapsed title="Méthode des éléments finis, Rennes, R. Lewandovski et N.Seguin, (sem.1)"] Ce cours est un pendant numérique du cours Espaces de Sobolev & équations elliptiques. Après des rappels sur les équations elliptiques linéaires, le cours aborde l’approximation des solutions associées par la méthode des éléments finis. L’élaboration et l’analyse de ce sméthodes sera abordé en dimension arbitraire. S’en suit une mise en œuvre des éléments finis selon un algorithme générique basé sur la formulation variationnelle. Le cours inclut un travail pratique à réalisé en utilisant un des langages de programmation courants au choix (Matlab, Octave, Scilab, Python,...). [/collapse] [collapsed title="Numérique du transport, Rennes, E.Faou, (sem.1)"] Ce cours est le pendant numérique du cours Équations hyperboliques. Une première partie portera sur l’analyse des schémas de différences finies. Les problématiques de stabilité et de consistance pour de tels schémas considérés en domaine infini ou périodique ainsi qu’en domaine borné seront abordées. Dans un deuxième temps, l’approximation des solutions faibles entropiques de lois de conservation hyperboliques non-linéaires sera étudiée via la construction et l’analyse de la méthode des volumes finis. Des développements récents de tels schémas seront abordés. [/collapse]

[collapsed title="Applications of Fourier Analysis to PDE , Nantes, C. Beana, (sem.1)"] Plusieurs équations aux dérivées partielles classiques (equations de Laplace et Poisson, equation de la chaleur, equation des ondes, equation Schrodinger) seront étudiées en utilisant les outils fournis par l'analyse de Fourier. Une grande partie du cours sera consacrée à l'étude des espaces des distributions (ou des fonctions généralisées), aux operations sur ces espaces, et aux espaces des Sobolev. Puis, on s'intéressera à l'existence et l'unicité des solutions pour les equations mentionnées ci-dessus. [/collapse]

[collapsed title="Pseudospectrum, semigroups, and quasimodes for non-selfadjoint operators, Nantes, J. Viola, (sem.1)"] : Grâce au théorème spectral, l'étude d'un opérateur autoadjoint (ou normal) sur un espace de Hilbert se réduit à l'analyse des valeurs et vecteurs propres (ou des objets analogues dans le cas continu). Les opérateurs non-autoadjoints, importants dans plusieurs domaines tels que la théorie des résonances, la théorie cinétique et la théorie des perturbations, ne se ramènent pas si facilement à leurs propriétés spectrales. Nous étudierons des méthodes pour mesurer et comprendre l'écart entre l'idéal autoadjoint et la réalité pour les opérateurs non-autoadjoints. [/collapse]

Second semestre

[/collapse] [collapsed title="Contrôlabilité et mécanique des fluides, Rennes, F.Marbach, (sem.2)"] Dans ce cours, nous étudierons la notion de contrôlabilité, c’est-à-dire la possibilité de choisir certains paramètres d’une équation d’évolution (par exemple, une force appliquée au système) pour amener son état à une cible désirée. Le cours commencera par une introduction dans le cadre des ÉDO, où nous mettrons l’accent sur les résultats non linéaires, à l’aide de critères issus de la géométrie (crochets de Lie). Puis, nous considérerons des exemples de problèmes en mécanique des fluides régis par des ÉDP non linéaires. Nous aborderons ainsi la contrôlabilité des équations de Burgers et d’Euler. [/collapse] [collapsed title="Moyennisation théorique et numérique des équations fortement oscillantes, Rennes, N. Crouseilles, (sem.2)"] Dans ce cours,il s’agit d’étudier des équations d’évolution (ÉDOouÉDP )oscillant rapidement en temps, lorsque le champ de vecteur est non autonome avec dépendance périodique par rapport au temps. Ce type de problèmes admet de nombreuses applications en physique,qui seront évoquées. Nous étudierons les techniques dites de moyennisation qui permettent de mettre la solution sous une forme très pratique : après un changement de variable périodique, cette fonction est la solution d’une équation moyennée, qui n’est plus raide en temps. Nous mettrons l’accent sur la moyennisation dite stroboscopique, qui permet de préserver les propriétés géométriques de l’équation (caractère hamiltonien ou préservation du volume). Enfin, dans une dernière partie, nous construirons une ou plusieurs méthodes numériques bien adaptées pour ces problèmes, dites uniformément précises et dont la convergence se fait uniformément par rapport au petit paramètre dans l’équation. [/collapse]

[collapsed title="Equations structurées en biologie : modélisation et analyse mathématique, Rennes, V. Milisic (sem.2)"] ans un premier temps on donne des exemples d’équations auxquelles on s’intéressera en insistant sur les aspects de modélisation qui permettent de les écrire. On donne quelques résultats classiques dans la théorie des équations intégrales de Volterra. On présente ensuite les équations de renouveau et les méthodes d’entropie généralisée. Dans un dernier chapitre on introduit les modèles d’adhésion dans le cadre de la motilité cellulaire et montre quelques résultats mathématiques dans ce contexte. [/collapse]

[collapsed title="Resonances, normal forms and Hamiltonian nonlinear PDEs, Nantes, B. Grébert, (sem.2)"] Les solutions de petites amplitudes d'équations aux dérivées partielle nonlinéaires dispersives sur un compact sans bord (par exemple un tore ou une sphère) sont soumises à deux eets concurrents :

  • la dispersion des ondes, conséquence du fait que les ondes planes solutions de la partie linéaire de l'équation voyagent avec des vitesses différentes (les ondes s'éloignent les unes des autres)
  • la compacité du domaine qui incite à l'interaction via la non-linéarité (les ondes sont amenées à se revoir souvent !) Qui gagne ? La dynamique en temps long va-t-elle vers la stabilité ou la turbulence ? Nous essaierons de répondre (partiellement) à ces questions sur quelques exemples et à travers des méthodes de formes normales dans le cadre des EDPs Hamiltoniennes. [/collapse]

[collapsed title="Hypocoercivity, Nantes, F. Hérau (sem.2)"] In the past 15 years, a new theory has been developped concerning the long time behavior of kinetic equations, under the name "hypocoercivity". This approach has now proved to be very efficient in the study of a large range of equations. This course is devoted to the main features of this approach in the hilbertian case : basic notions of coercivity and hypocoercivity, relations between the spectral theory and the long time behavior of linear or linearized models. We shall also - depending on the time remaining - study the nonlinear perturbative case, the case of collision kernels of Boltzmann type, the connection with the theory of hypoellipticity and the recent theory of enlarged spaces.

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