Séminaire - Journées réelles du CHL

Du 3 au 5 octobre à Ouessant au CEMO

Organisé par Johannes Huisman.

Le programme

jeudi 3/10

15h-17h Wolfgang Pitsch: Survol de la théorie homotopique

vendredi 4/10

10h-12h Wolfgang Pitsch: Spectres et spectres équivariants

15h-16h Nicolas Dutertre: Sur la topologie des singularités réelles non-isolées

16h-17h Giovanny Jaramillo Puentes: Conjecture de Göttsche pour les invariants tropicaux raffinés

samedi 5/10

10h-12h Wolfgang Pitsch: Le spectre d'Eilenberg-MacLane Z/2-équivariant à coefficients constants Z/2 et les espaces de conjugaison

Pratique

L'hébergement

L'ensemble des participants sera logé au CEMO du 3 au 5 octobre où ont lieu les exposés ainsi que les repas. Il est sans doute utile de préciser que le logement au CEMO se fera sous la forme de dortoir. Seuls les orateurs invités ainsi que les doyens d'âge parmi les participants seront logés dans des chambres. L'hébergement et les repas de l'ensemble des participants seront pris en charge par le CHL et le LMBA.

Le déplacement

Le bateau pour Ouessant de la compagnie Pen Ar Bed part du port de Brest le jeudi 3 octobre à 8h20. Il est possible de le prendre au Conquet à 9h45, ou à Molène à 10h20. Prévoir dans tous les cas 30 minutes pour retirer les billets qu'on peut réserver auprès de la compagnie auparavant. L'arrivée au port d'Ouessant est prévue à 11h. On pourra rejoindre le CEMO à pied en 1h, ou à vélo en 20 minutes, ou encore en 10 minutes avec le minibus mis à disposition des participants.

Le retour peut se faire avec le bateau qui part du port d'Ouessant le samedi 5 octobre à 17h, avec une arrivée au port de Brest aux alentours de 20h.

Une alternative au bateau est le vol de ligne assuré par la compagnie Finistair qui part de l'aéroport de Brest à 8h30 le jeudi 3 octobre. Par contre le retour le samedi 5 octobre a lieu à 9h15; le vol de retour suivant a lieu le lundi 7 octobre à 9h15.

Ceux qui viennent de loin auront sans doute envie d'arriver à Brest un jour plus tôt. Les nombreux hôtels près de la gare sont également proches du port. Les participants le souhaitant sont priés de bien vouloir faire des réservations eux-mêmes.

Le budget de la présente rencontre ne permet malheureusement pas de prendre en charge les frais de déplacement ou d'éventuel hébergement à Brest des participants angevins, brestois, nantais ou rennais, et l'organisateur brestois en est désolé.

Extension de séjour

Tout participant qui voudrait arriver plus tôt à Ouessant ou partir plus tard d'Ouessant est prié de bien vouloir s'organiser lui-même pour les jours supplémentaires. Il y a plusieurs hôtels sur l'île anisi que des maisons de location. Une extension de l'hébergement au CEMO pourra se faire sans doute à titre individuel, mais il faut savoir que le CEMO ne propose pas de restauration; contacter le CEMO dans ce cas.

Résumés des exposés:

N. Dutertre : Sur la topologie des singularités réelles non-isolées

Khimshiashvili a montré une formule de degré topologique pour la caractéristique d'Euler des fibres de Milnor d'un germe de fonction à singularité isolée. On donne deux généralisations de ce résultat pour les singularités non-isolées. En corollaire, on obtient une formule algébrique pour la caractéristique d'Euler des fibres d'un polynôme réel quasi-homogène et une version réelle de la formule de Lê-Iomdine.

Giovanny Jaramillo Puentes : Conjecture de Göttsche pour les invariants tropicaux raffinés

Dans cet exposé je présenterai les invariantes classiques et tropicaux qui correspondent avec l’énumération des courbes avec genre fixé (ou avec une quantité des points nodaux fixée) et degré fixé; les diagrammes en étages, et leurs multiplicités, afin d'expliquer quelques aspects combinatoires qui nous permettent établir une propreté de polynômialité par rapport au degré . J'expliquerai comment, au cas rationnel, peuvent être vus comment des polynômes à deux variables: le degré et le nombre de pairs de points complexes conjugués dans la configuration des points. Et je montrerai quelque relations entre les polynômes qu'on obtient qui extrapolent des relations des invariants classiques. Ceci est un travail en collaboration avec E. Brugallé.

Du 25 au 26 juin 2019 à Nantes.

Organisation

Erwan Brugallé

Orateurs

Alex Degtyarev (Bilkent University, Ankara) : Towards the number of tritangents to a smooth sextic.

Abstract.

Olivier Le Gal (Savoie Mont-Blanc) : Dichotomie enlacement/Hardy compatibilité pour des solutions d'équations différentielles définissables.

Soit (E) un système de deux équations différentielles du premier ordre, définissable dans une structure o-minimale et polynomialement bornée. On montre que le comportement de deux solutions de (E) ayant un contact plat entre elles obéit à une dichotomie : soit elles sont toutes les deux enlacées, c'est à dire que l'angle entre leur différence et un vecteur fixe diverge vers l'infini, soit elles cohabitent dans un même corps de Hardy (un corps de germes de fonction stable par dérivation). Il s'agit d'un travail commun avec M. Matusinski et F. Sanz.

Matilde Manzaroli (Nantes) : Classification of real algebraic curves in real minimal del Pezzo surfaces

The study of the topology of real algebraic varieties dates back to the work of Harnack, Klein and Hilbert in the 19th century; in particular, the isotopy type classification of real algebraic curves with a fixed degree in the real projective plane is a classical subject that has undergone considerable evolution. On the other hand, apart from studies concerning Hirzebruch surfaces and at most degree 3 surfaces in the real projective space, not much is known for more general ambient surfaces. In particular, this is because varieties constructed using the patchworking method are hypersurfaces of toric varieties. However, there are many other real algebraic surfaces. Among these are the real rational surfaces, and more particularly the real minimal surfaces. In this talk, we present some results about the classification of topological types realized by real algebraic curves of "small class" in real minimal del Pezzo surfaces of degree 2.

Nermin Salepci (Lyon) : Asymptotic topology of random sub-complexes.

( joint work with Jean-Yves Welschinger) We introduce a construction of random subcomplexes in a finite simplicial complex. We study the expected topology of these random subcomplexes. For exemple, expected value of Betti numbers or expected Euler characteristic. By considering barycentric subdivision, we can iterate the procedure to study asymptotic behavior of these expected values. We present some upper bounds for the asymptotic of the expected Betti numbers.

Florent Schaffhauser (Strasbourg/Bogota) : Mod 2 cohomology of moduli stacks of real vector bundles.

The rational cohomology ring of the moduli stack of holomorphic vector bundles of fixed rank and degree over a compact Riemann surface was studied by Atiyah and Bott using tools of differential geometry and algebraic topology: they found generators of that ring and computed its Poincaré series. In joint work with Chiu-Chu Melissa Liu, we study in a similar way the mod 2 cohomology ring of the moduli stack of real vector bundles of fixed topological type over a compact Riemann surface with real structure. The goal of the talk is to explain the principle of the computation, emphasizing the analogies and differences between the real and complex cases, and discuss applications of the method. In particular, we provide explicit generators of mod 2 cohomology rings of moduli stacks of vector bundles over a real algebraic curve.

3 - 4 décembre 2018 à Angers

Lieu: Angers, Belle-Beille, Bâtiment I, salle I001

Orateurs: Olivier Benoist (ENS Paris), Goulwen Fichou (Rennes), Stefana Sorea (Lille), Ronan Terpereau (Dijon), Egor Yasinsky (Bâle)

Organisation: Susanna Zimmermann (si jamais on a des questions)

Comité scientifique: Nicolas Dutertre, Frédéric Mangolte, Jean-Philippe Monnier, Susanna Zimmermann

Lundi 4 juin 2018 à Rennes

En salle 004

9h30 Accueil (thé-café)

10h15-11h15 Stéphanie Cupit-Foutou (Bochum) : À propos du lieu réel des variétés sphériques complexes.
Résumé : Les variétés de drapeaux, les variétés toriques ainsi que les espaces symétriques sont des exemples de variétés sphériques -- une classe de variétés algébriques complexes munies d'une action de groupe. Après une brève introduction concernant ces variétés, j'expliquerai comment définir une structure réelle équivariante sur ces objets. Une fois la structure réelle donnée, nous nous intéresserons au lieu réel sous-jacent, naturellement muni d'une action d'un groupe algébrique réel provenant du cas complexe. Les orbites de cette action ont été décrites par Borel & Ji ainsi que par Timashev & moi-même dans le cas des espaces symétriques, par le biais de la cohomologie galoisienne. Dans mon exposé, je présenterai une nouvelle méthode, une méthode géométrique, pour paramétrer ces mêmes orbites et ce, dans le cas des variétés sphériques en général -- un travail en commun avec Timashev et disponible sous peu.

14h-15h Arthur Renaudineau (Toulouse) : Borner les nombres de Betti des hypersurfaces réelles proche de la limite tropicale.
Résumé : Borner les nombres de Betti individuels des variétés algébriques réelles est en général une question difficile. Dans cet exposé, j'expliquerai comment obtenir des bornes, conjecturées par Itenberg, dans le cas des hypersurfaces projectives proches de la limite tropicale (non-singulière). On utilisera pour cela notamment une version réelle de l'homologie tropicale. C'est un travail en commun (et toujours en cours) avec Kristin Shaw.

Pause (thé-café)

15h30-16h30 Yimu Yin (Santa Monica) : Motivic integration and the nonarchimedean Milnor fiber
Résumé : Extending the work of Hrushovski and Loeser, I will describe how an object called the nonarchimedean Milnor fiber embodies a broader concept of Milnor fiber. It may be considered as an infinitesimal limit of the usual topological Milnor fiber and gives rise to the motivic Milnor fiber by way of the Hrushovski-Kazhdan integral. The uniform narrative affords new insights into how the various invariants and constructions associated with Milnor fiber, both real and complex, are related. This is joint work with Goulwen Fichou.

Vendredi 2 mars 2018 à Rennes

En salle 16

9h30 Accueil (thé-café)

10h30-11h30 Tom Bachmann (Essen) : Motivic stable homotopy theory and real algebraic geometry

Résumé : Motivic homotopy theory was invented by Morel-Voevodsky as a way of applying homotopy theoretical methods to the study of algebraic varieties. Given some scheme S, the motivic stable homotopy category SH(S) is built out of the smooth varieties over S, with the affine line A^1_S replacing the usual topological interval, and the projective line P^1_S replacing the usual topological (2-) sphere. It turns out that this category has a close connection to the real algebraic geometry of S. For example, there is a certain full subcategory (localization) of SH(S) that is equivalent to the derived category of sheaves of Q-vector spaces on the topological space R(S), where R is the topological space of points of S together with an ordering of the residue field. In this talk I will explain this and related results. 14h-15h Penka Vasileva Georgieva (Paris) : Real curves and a Klein TQFT Résumé : The local Gromov-Witten theory of curves studied by Bryan and Pandharipande revealed strong structural results for the local GW invariants, which were later used by Ionel and Parker in the proof of the Gopakumar-Vafa conjecture. In this talk I will report on a joint work in progress with Eleny Ionel on the extension of these results to the real setting.

Pause (thé-café)

15h30-16h30 Krzysztof Kurdyka (Savoie) : Curve-rational functions

Jeudi 11 mai 2017 à Rennes

En salle 16

11h-12h Nicolas Dutertre (Marseille) : Courbures de Lipschitz-Killing et images polaires.

Résumé : On relie les courbures de Lipschitz-Killing d'un ensemble définissable de R^n aux volumes des images polaires génériques. Pour les sous-variétés lisses de R^n, de tels résultats ont été établis par Langevin et Shifrin (Amer. J. Math, 1982). On donne ensuite des versions infinitésimales de ces résultats. En corollaire, on obtient une relation entre les invariants polaires de Comte et Merle et les densités des images polaires génériques.

14h-15h Johannes Huisman (Brest) : Cohomologie bigraduée de variétés algébriques réelles

15h30-16h30 Andrés Jaramillo Puentes, (IMJ-PRG, Paris) : Classification à isotopie rigide des courbes rationnelles réelles planes de degré 5.

Résumé : Le but de l'exposé est d'exprimer la classification à isotopie rigide près des courbes rationnelles réelles de degré 5 en fonction des invariants topologiques des courbes et ainsi que des restrictions algebro-géometriques données par le théorème de Bézout et la formule d'orientation complexe de Rokhlin. La première partie de l'exposé sera dédiée à présenter les dessins associées aux courbes, un outil combinatoire qui permet de classifier les classes d'isotopie rigide. La seconde partie de l'exposé sera dédiée à détailler un exemple intéressant de courbes non rigidement isotopes ayant la même classe d'isotopie.

Jeudi 10 novembre 2016 à Rennes

14h-15h (salle 016) Olivier Benoist (Strasbourg) : Sur le 17ème problème de Hilbert en petit degré.

Résumé : Artin a résolu le 17ème problème de Hilbert en démontrant qu'un polynôme en n variables à coefficients réels qui est positif est une somme de carrés de fractions rationnelles, et Pfister a montré que 2^n carrés suffisent. En 3 variables ou plus, c'est une question ouverte de décider si la borne de Pfister est optimale. Dans cet exposé, on montrera que celle-ci peut être améliorée pour des polynômes de petit degré (au plus 2n-2, et parfois 2n).

15h30-16h30 (salle 016) Susanna Zimmermann (Bale) : The Cremona group of the real plane

Résumé : The Cremona group of the real plane is the group of birational self-maps of the plane defined over the real numbers. I would like to discuss some properties of this large group, such as algebraic subgroups and abelian quotients.

Jeudi 12 mai 2016 à Rennes

10h30-11h30 (salle 016) K. Becher (Anvers, Belgium) : Corps de déploiement d'algèbres simples centrales d'exposant deux.

Résumé : Le Théorème de Merkurjev dit que toute algèbre simple centrale d'exposant deux est Brauer-équivalente à un produit tensoriel d'algèbres de quaternions. Par conséquent, si sur un corps donné toute algèbre de quaternions est une algèbre de matrices, alors le groupe de Brauer est sans 2-torsion. Récemment, j'ai obtenu une démonstration élémentaire de ce dernier fait. Dans mon exposé, je tâcherai de motiver le problème, d'expliquer son lien avec des questions ouvertes et d'esquisser la démonstration.

14h-15h (salle 016) J.-P. Monnier (Angers) : Ensembles semi-algébriques et fonctions rationnelles continues.

Résumé : On étudie les relations entre les fonctions algébriquement constructibles sur une variété algébrique réelle et les sommes de signes de fonctions rationnelles continues sur cette variété. On s'intéresse aussi aux ensembles semi-algébriques qui sont le lieu de positivité stricte d'une fonction rationnelle continue.

15h30-16h30 (salle 016) F. Bihan (Chambéry) : Une généralisation de la règle de Descartes pour les systèmes polynomiaux dont le support est un circuit.

Résumé : La règle de Descartes borne le nombre de racines positives d'un polynôme réel en une variable par le nombre de changements de signe consécutifs de ses coordonnées dans la base monomiale (ordonnée suivant les puissances croissantes). La borne obtenue est optimale et généraliser la règle de Descartes aux systèmes polynomiaux en plusieurs variables est un problème très difficile. Dans un travail avec Alicia Dickenstein (Université de Buenos Aires), nous avons obtenu une généralisation partielle de la règle de Descartes en plusieurs variables. Notre règle s'applique aux systèmes polynomiaux en un nombre arbitraire n de variables dont le support consiste en n+2 monômes quelconques. Comme pour la règle de Descartes usuelle, notre borne est optimale et s'exprime comme un nombre de changement de signes d'une suite de nombres obtenus en considérant les mineurs maximaux de la matrice des coefficients ainsi que de celle des exposants du système.

Jeudi 12 novembre 2015 à Rennes

10h Accueil

10h30-11h30 (salle 016) S. Moussa (Maradi; Niger) : Rationalité de l'ensemble des configurations singulières d'une plateforme de Stewart et droites sur une surface cubique.

Résumé : Dans cet exposé, je présenterai la plateforme de Stewart (un robot à 6 degrés de liberté). Les roboticiens s'intéressent aux configurations singulières de cette plateforme pour les éviter car on y perd le contrôle d'un degré de liberté. On cherche une paramétrisation rationnelle de l'ensemble des configurations singulières. Ceci conduit au problème de la rationalité d'une surface cubique définie sur le corps de fonctions du groupe des rotations et à l'étude des droites sur cette surface cubique en lien avec leur caractérisation cinématique.

12h Repas en commun

14h10-15h10 (salle 006) G. Comte (Chambéry) : Points rationnels de hauteur bornée sur des courbes oscillantes.

Résumé : J'expliquerai comment, dans un travail en commun avec C. Miller, nous montrons que le nombre de points rationnels de hauteur bornée par T et contenus dans certaines courbes réelles transcendantes, éventuellement non o-minimales, est faible. Nous montrons sous certaines hypothèses que ce nombre est majoré par C log^a(T), où C,a sont des réels. Ce type de résultat étend à des courbes oscillantes les résultats de Pila & Wilkie en o-minimal et Pila, Jones, Thomas en pfaffien.

15h11 Pause thé/café

15h30-16h30 (salle 006) Arthur Renaudineau (Genève) : Patchwork de Viro et géométrie tropicale

Résumé : Après avoir rappelé la méthode du patchwork de Viro et ses applications en topologie des variétés algébriques réelles, on présentera une construction de courbes algébriques réelles utilisant une version tropicale du patchwork.

Jeudi 7 mai 2015 à Rennes

10h30-11h30 (salle 16) M. Benzerga (Angers) : Structures réelles sur les éclatés de P^2

Résumé : Une structure réelle sur une variété projective complexe X est une involution antiholomorphe sur cette variété. La donnée d'une telle structure équivaut à la donnée d'une variété réelle X_0 dont la complexification est isomorphe à X (on dit alors que X_0 est une forme réelle de X). Le but de cet exposé est de montrer comment l'étude des groupes d'automorphismes des éclatés de P^2 peut être utilisée en vue de donner des éléments de réponse à la question de la finitude du nombre de classes d'équivalence de structures réelles sur ces éclatés, i.e. la finitude du nombre de leurs formes réelles à isomorphisme près.

14h-15h (salle 4) C. Raffalli (Chambéry) : Distance to the discriminant.

Abstract : We will study algebraic hyper-surfaces on the real unit sphere S of dimension n-1 (given by an homogeneous polynomial of degree d in n variables) with the view point rarely exploited of Euclidian geometry using Bombieri's scalar product and norm. We will first show some remarkable properties of this scalar product, for instance a combinatoric formula for the scalar product of two products of linear-forms which allow to give a (new ?) proof of the invariance of Bombieri's norm by composition with the orthogonal group. These properties yield a simple formula for the distance of an algebraic hyper-surface to the "real discriminant" (the set of hyper-surfaces with a real singularity on the sphere). This property can be further simplified when the hyper-surface has extremal Betti numbers. In this case we have dist(P, Delta) = min_{x critical point of P on S} |P(x)| We will show that extremal hyper-surfaces that maximize the distance to the discriminant are very remarkable objects. We will illustrate the talk showing all extremal sextics curves far from the discriminant and obtained by numerical optimisation. We will also give result for homogeneous polynomials in two variables on the unit circle and for positive polynomials on the sphere S_n.

15h30-16h30 (salle 4) A. Lerario (Lyon) : Distance, volumes and average aspects of real algebraic geometry.

Abstract : Eckart-Young theorem states that the distance (in the Frobenius norm) between a matrix and the set of singular matrices coincides with the least singular value of the given matrix. This theorem has numerous applications, for instance it can be used to compute the volume of the set of singular matrices of Frobenius norm one (this type of computations is extremely important in the emerging field of "random" algebraic geometry). In this talk (which is much related C. Raffalli's one) I will present some geometric generalizations of this result, to the case of symmetric and skew-symmetric matrices of given corank and eventually to the case of Schubert varieties in the real Grassmannian. This last theme is particularly fascinating, as it brings directly to the possibility of performing computations in real enumerative geometry "on average".

Jeudi 15 janvier 2015 à Rennes

10h30-11h30 E. Brugallé (Paris) : Courbes de Harnack pseudoholomorphes.

Résumé : Je donnerai une preuve alternative et élémentaire du théorème de Mikhalkin sur l'unicité des types topologiques des courbes de Harnacks (dont je rappelerai la définition). Cette preuve permet en particulier d'étendre ce résultat aux courbes pseudoholomorphes réelles.

14h-15h B. Bertrand (Tarbes) : Courbure totale des hypersurfaces et courbes tropicales réelles. (En commun avec L. López de Medrano and J.-J. Risler)

Résumé : Pour une hypersurface algébrique réelle $X$ il y a une inégalité entre les courbures totales de sa partie réelle $R X$ et de sa partie complexe $C X$. Nous avons étudié l'inégalité correspondante pour les amibes (images logarithmiques) et prouvé que c'est une égalité à la limite tropicale i.e. pour les hypersurfaces tropicales réelles non-singulières. Après le cas de codimension $1$ je décrirai ce que nous savons sur celui de dimension $1$.

Jeudi 24 avril 2014 à Rennes

10h30-11h30 S. Cantat (Rennes) : Dynamique et surfaces réelles.

14h-15h F. Mangolte (Angers) : Faux plans réels : modèles algébriques rationnels de R^2.

Résumé : On étudie les modèles algébriques réels du plan affine euclidien $R^2$ à difféomorphismes birationnels près. Cette question est liée à une version forte du problème de $R$-rationnalité. Le cas compact, c'est-à-dire la classification des modèles algébriques rationnels de $P^2(R)$ est connu : $P^2_R(R)$ est le seul modèle. Un faux plan réel est une surface géométriquement intègre lisse $S$ définie sur $R$ telle que :
1. L'ensemble de ses points réels $S(R)$ est difféomorphe à $R^2$ ;
2. la surface $S(R)$ n'est pas équivalente à $A^2_R(R)$ par un difféomorphisme birationnel;
3. la surface complexifiée $S_C$ est $Q$-acyclique (ceci pour éviter les exemples triviaux pour lesquels $S_C$ soit très éloigné de $A^2_C$).

15h15-16h15 R. Crétois (Genève) : Comment compter les courbes rationnelles réelles dans les 4-variétés symplectiques simplement connexes de première classe de Chern nulle ?

Résumé : Il y a quelques années, Welschinger a découvert une façon de compter les courbes pseudo-holomorphes rationnelles réelles dans des variétés symplectiques réelles de dimension 4 et 6 produisant des comptes invariants par déformation de la structure symplectique. Sa méthode ne fonctionne toutefois pas pour toute les variétés symplectiques de dimension 4 : le premier cas ouvert est celui où la première classe de Chern de la variété est nulle. Dans cet exposé, j'expliquerai où se trouve le problème, et comment y remédier afin de généraliser les invariants de Welschinger lorsque la première classe de Chern s'annule. Je ferai aussi le lien avec des travaux récents de Kharlamov et Rasdeaconu sur les courbes rationnelles réelles sur les surfaces K3 réelles. Je présenterai enfin les perspectives concernant ce travail.

Jeudi 23 mai 2013 à Rennes

14h-15h J. -P. Monnier (Angers) : Systèmes linéaires très spéciaux sur les courbes algébriques réelles.

Résumé : Pour une courbe algébrique réelle donnée, on étudie les systèmes linéaires spéciaux appelés "très spéciaux", la dimension de ces systèmes linéaires ne satisfait pas une inégalité de type "Clifford". On détermine ces systèmes linéaires très spéciaux lorsque la partie réelle de la courbe a peu de composantes connexes et aussi lorsque la gonalité de la courbe est petite.

15h30-16h30 C. Scheiderer (Konstanz) : Sums of squares of polynomials with rational coefficients.

Abstract : We construct an explict polynomial with rational coefficients which is a sum of squares of polynomials with real coefficients, but not of polynomials with rational coefficients. Whether or not such examples exist had been an open question originally raised by Sturmfels.

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