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10h00 – 10h30
Accueil des participants
10h30 – 10h45
Présentation des Annales Henri Lebesgue
par Nicolas Raymond 10h45 – 12h00 Table ronde autour de l'édition scientifique
en présence de Thierry Bouche, Bruno Gnassounou, Emmanuel Royer, Claude Sabbah 12h00 – 14h00 Buffet 14h00 – 14h45 Exposé scientifique par Claire Voisin
Le schéma de Hilbert ponctuel
Le k-ième schéma de Hilbert ponctuel d'une variété X est une « compactification » naturelle de l'espace des configurations non ordonnées de k points de X fournie par la théorie des schémas. Dans le cas d'une surface X, les variétés qu'on obtient sont lisses et la désingularisation du k-ième produit symétrique de X ainsi obtenue a de très belles propriétés « topologiques » que je présenterai dans cet exposé. 15h00 – 15h45 Exposé scientifique par Patrick Gérard
Problèmes spectraux inverses pour les matrices de Hankel et tores lagrangiens bigarrés
Les matrices de Hankel, qui sont les matrices indexées par les couples d'entiers naturels dont les coefficients ont une valeur constante sur tout segment perpendiculaire à la diagonale, interviennent dans de nombreux domaines, allant de l'automatique à l'analyse harmonique. Une telle matrice est caractérisée par son symbole, qui est la fonction sur le cercle n'admettant que des modes de Fourier positifs ou nuls, et dont la suite des coefficients de Fourier est la première colonne de la matrice. À toute matrice de Hankel de Hilbert-Schmidt, c'est-à-dire dont les coefficients sont de carrés sommables, on fait correspondre génériquement la suite strictement décroissante et de carré sommable formée par ses valeurs singulières et par celles de la matrice de Hankel obtenue en oubliant sa première colonne. Le problème spectral inverse consistant à retrouver le symbole de la matrice à partir d'une telle donnée admet pour ensemble de solutions un tore de dimension infinie, qui est un tore lagrangien pour un certain système hamiltonien sur l'espace des symboles.
J'essaierai de discuter quelques propriétés de ces tores, en particulier le fait surprenant que les symboles $C^\infty$ génériques y cohabitent avec des symboles de très faible régularité. 16h00 – 16h45 Exposé scientifique par Marc Hoffmann
Inférence statistique à travers les échelles
Le plus souvent en statistique, la modélisation des observations est intrinsèquement liée à une notion d'échelle physique. On peut penser par exemple à la discrétisation d'un processus stochastique issu de données financières : dans une échelle microscopique (de l'ordre de la seconde ou moins) la trajectoire d'un processus de prix « ressemble » à un processus ponctuel marqué, alors que dans une échelle macroscopique (pour des données journalières disons), on observe plutôt un processus de diffusion continu. En particulier, le choix a priori de l'échelle physique détermine les propriétés mathématiques de l'expérience statistique sous-jacente.
Nous formaliserons à travers quelques exemples emblématiques cette observation et nous nous poserons en particulier la question de l'estimation adaptative : peut-on construire une procédure qui ne dépende pas d'un choix d'échelle a priori et qui atteigne une forme d'optimalité à travers les échelles ? Des exemples (et leur limites !) seront développés dans le cadre de modèles poissonniens de type processus de Hawkes jusque dans leurs limites diffusives, avec en ligne de mire les applications en finance statistique haute fréquence.
par Nicolas Raymond 10h45 – 12h00 Table ronde autour de l'édition scientifique
en présence de Thierry Bouche, Bruno Gnassounou, Emmanuel Royer, Claude Sabbah 12h00 – 14h00 Buffet 14h00 – 14h45 Exposé scientifique par Claire Voisin
Le schéma de Hilbert ponctuel
Le k-ième schéma de Hilbert ponctuel d'une variété X est une « compactification » naturelle de l'espace des configurations non ordonnées de k points de X fournie par la théorie des schémas. Dans le cas d'une surface X, les variétés qu'on obtient sont lisses et la désingularisation du k-ième produit symétrique de X ainsi obtenue a de très belles propriétés « topologiques » que je présenterai dans cet exposé. 15h00 – 15h45 Exposé scientifique par Patrick Gérard
Problèmes spectraux inverses pour les matrices de Hankel et tores lagrangiens bigarrés
Les matrices de Hankel, qui sont les matrices indexées par les couples d'entiers naturels dont les coefficients ont une valeur constante sur tout segment perpendiculaire à la diagonale, interviennent dans de nombreux domaines, allant de l'automatique à l'analyse harmonique. Une telle matrice est caractérisée par son symbole, qui est la fonction sur le cercle n'admettant que des modes de Fourier positifs ou nuls, et dont la suite des coefficients de Fourier est la première colonne de la matrice. À toute matrice de Hankel de Hilbert-Schmidt, c'est-à-dire dont les coefficients sont de carrés sommables, on fait correspondre génériquement la suite strictement décroissante et de carré sommable formée par ses valeurs singulières et par celles de la matrice de Hankel obtenue en oubliant sa première colonne. Le problème spectral inverse consistant à retrouver le symbole de la matrice à partir d'une telle donnée admet pour ensemble de solutions un tore de dimension infinie, qui est un tore lagrangien pour un certain système hamiltonien sur l'espace des symboles.
J'essaierai de discuter quelques propriétés de ces tores, en particulier le fait surprenant que les symboles $C^\infty$ génériques y cohabitent avec des symboles de très faible régularité. 16h00 – 16h45 Exposé scientifique par Marc Hoffmann
Inférence statistique à travers les échelles
Le plus souvent en statistique, la modélisation des observations est intrinsèquement liée à une notion d'échelle physique. On peut penser par exemple à la discrétisation d'un processus stochastique issu de données financières : dans une échelle microscopique (de l'ordre de la seconde ou moins) la trajectoire d'un processus de prix « ressemble » à un processus ponctuel marqué, alors que dans une échelle macroscopique (pour des données journalières disons), on observe plutôt un processus de diffusion continu. En particulier, le choix a priori de l'échelle physique détermine les propriétés mathématiques de l'expérience statistique sous-jacente.
Nous formaliserons à travers quelques exemples emblématiques cette observation et nous nous poserons en particulier la question de l'estimation adaptative : peut-on construire une procédure qui ne dépende pas d'un choix d'échelle a priori et qui atteigne une forme d'optimalité à travers les échelles ? Des exemples (et leur limites !) seront développés dans le cadre de modèles poissonniens de type processus de Hawkes jusque dans leurs limites diffusives, avec en ligne de mire les applications en finance statistique haute fréquence.